Matemaatika maailmas on geomeetria üks nendest valdkondadest, millel on kõige rohkem praktilist väärtust meie igapäevaelus, olgu selleks siis remondi tegemine, krundi planeerimine või lihtsalt eksamiteks valmistumine. Üks kujund, mis tekitab õpilastes ja isegi täiskasvanutes sageli segadust, on täisnurkne trapets. See on eriline nelinurk, mis ühendab endas ristküliku lihtsuse ja tavalise trapetsi mitmekesisuse. Kuigi pealtnäha võib selle pindala arvutamine tunduda keeruline, on see tegelikult loogiline ja lihtne protsess, kui teada õigeid valemeid ja mõista kujundi olemust. Selles juhendis vaatame põhjalikult, mis loom on täisnurkne trapets ja kuidas selle pindala eksimatult arvutada.
Mis on täisnurkne trapets ja kuidas seda ära tunda?
Enne arvutuste juurde asumist on kriitiliselt oluline mõista, millega on tegu. Trapets on nelinurk, millel on kaks paralleelset külge ja kaks mitteparalleelset külge. Paralleelseid külgi nimetatakse alusteks ja mitteparalleelseid külgi haaradeks.
Täisnurkne trapets on trapetsi erijuhtum, millel on järgmised iseloomulikud tunnused:
- Üks haar on alustega risti. See tähendab, et see haar moodustab mõlema alusega 90-kraadise nurga.
- Seda risti olevat haara nimetatakse sageli ka trapetsi kõrguseks, mis teeb pindala arvutamise oluliselt lihtsamaks kui teiste trapetsi liikide puhul.
- Kujundil on kaks täisnurka, üks nürinurk ja üks teravnurk.
- Täisnurkse trapetsi lühem haar on ühtlasi selle kõrguseks.
Visuaalselt meenutab täisnurkne trapets ristkülikut, mille üks külg on “viltu lõigatud”. Just see omadus muudab selle kujundi ehituses ja disainis väga populaarseks, kuna see sobib hästi kokku teiste täisnurksete struktuuridega.
Pindala arvutamise põhivalem
Täisnurkse trapetsi pindala (tähistatakse tähega S) arvutamiseks kasutatakse sama universaalset valemit, mis kehtib kõikide trapetsite puhul. Erinevus seisneb vaid selles, kust me leiame kõrguse.
Pindala valem on järgmine:
S = ((a + b) / 2) * h
Selles valemis tähistavad muutujad järgmisi suurusi:
- a – trapetsi esimene alus (tavaliselt pikem paralleelne külg).
- b – trapetsi teine alus (tavaliselt lühem paralleelne külg).
- h – trapetsi kõrgus (täisnurkse trapetsi puhul on see sirge haar, mis ühendab aluseid risti).
Valemi loogika on lihtne: me leiame kahe aluse aritmeetilise keskmise (liidame alused ja jagame kahega) ning korrutame saadud tulemuse kõrgusega. Sisuliselt teisendame trapetsi mõtteliselt ristkülikuks, mille laius on aluste keskmine pikkus ja kõrgus on trapetsi kõrgus.
Samm-sammuline arvutamise juhend
Et vältida vigu ja saavutada alati õige tulemus, on soovitatav järgida kindlat tegevuskava. Isegi lihtsate numbrite puhul aitab süsteemne lähenemine vältida hooletusvigu.
1. samm: Määrake alused ja kõrgus
Vaadake ülesannet või joonist. Leidke kaks külge, mis on omavahel paralleelsed – need on teie alused (a ja b). Täisnurkse trapetsi puhul leidke külg, mis on alustega risti – see on teie kõrgus (h).
2. samm: Kontrollige mõõtühikuid
See on koht, kus tehakse kõige rohkem vigu. Veenduge, et kõik pikkused on antud samades ühikutes (näiteks kõik on sentimeetrites või kõik on meetrites). Kui ühikud erinevad, tuleb need enne valemisse asetamist teisendada.
3. samm: Arvutage aluste summa
Liitke kokku aluste pikkused: a + b.
4. samm: Jagage summa kahega
Saadud summa jagage kahega. Nüüd on teil käes trapetsi kesklõik.
5. samm: Korrutage kõrgusega
Korrutage eelmises sammus saadud arv kõrgusega (h). Vastus ongi trapetsi pindala. Pindala ühik on alati ruudus (nt cm², m²).
Kuidas leida puuduvaid andmeid Pythagorase teoreemi abil?
Reaalses elus ja keerulisemates matemaatikaülesannetes ei ole alati kõik andmed kandikul ette toodud. Väga levinud on olukord, kus on teada alused ja pikem (kaldus) haar, kuid puudub kõrgus. Või on teada kõrgus ja üks alus, kuid puudub teine alus.
Siin tuleb appi Pythagorase teoreem. Täisnurkse trapetsi saab mõtteliselt (või abijoonega) jagada kaheks lihtsamaks kujundiks: ristkülikuks ja täisnurkseks kolmnurgaks.
Toimige järgmiselt, kui kõrgus on puudu, kuid kaldhaar on olemas:
- Tõmmake lühema aluse tipust (nürinurga tipust) alla ristlõik pikemale alusele. See joon on sama pikkusega kui trapetsi sirge haar (kõrgus).
- Nüüd tekkis teile täisnurkne kolmnurk. Selle kolmnurga hüpotenuus on trapetsi kaldhaar.
- Kolmnurga ühe kaateti pikkuse saate, kui lahutate pikemast alusest lühema aluse (a – b).
- Kasutage Pythagorase teoreemi (a² + b² = c²), et leida puuduva kaateti (mis on ühtlasi trapetsi kõrgus) pikkus.
Näide: Kui alused on 10 cm ja 6 cm ning kaldhaar on 5 cm.
Kolmnurga alus on 10 – 6 = 4 cm.
Hüpotenuus on 5 cm.
Kõrguse (h) leidmiseks: h² + 4² = 5².
h² + 16 = 25.
h² = 9.
h = 3 cm.
Nüüd saate arvutada pindala tavalise valemiga.
Praktiline näidisülesanne koos lahendusega
Kinnistame teadmised ühe elulise näitega.
Ülesanne: Teil on vaja tellida tänavakive täisnurkse trapetsi kujulise sissesõidutee jaoks. Tee üks külg on majaseinaga risti ja selle pikkus on 8 meetrit. Paralleelsed küljed (värav ja garaažiuks) on vastavalt 5 meetrit ja 9 meetrit laiad. Mitu ruutmeetrit kive on vaja?
Lahendus:
1. Tuvastame andmed:
Alus a = 9 m
Alus b = 5 m
Kõrgus h = 8 m (kuna see külg on risti, on see kõrgus).
2. Kasutame valemit:
S = ((9 + 5) / 2) * 8
3. Teostame tehted:
9 + 5 = 14
14 / 2 = 7
7 * 8 = 56
Vastus: Sissesõidutee pindala on 56 ruutmeetrit.
Levinumad vead, mida vältida
Isegi kogenud arvutajad võivad komistada lihtsate vigade otsa. Siin on nimekiri asjadest, mida tasub topelt kontrollida:
- Kõrguse segiajamine kaldhaaraga: Täisnurkse trapetsi puhul on kõrgus see külg, mis on risti. Ärge kunagi kasutage pindala arvutamiseks kaldus haara pikkust, välja arvatud juhul, kui peate selle kaudu esmalt kõrgust tuletama.
- Jagamise unustamine: Valemis on kindlasti vaja aluste summa jagada kahega. Kui unustate jagada, saate vastuseks ristküliku pindala, mis on kaks korda suurem tegelikust trapetsist.
- Ühikute virvarr: Arvutades pindala, kus üks külg on antud meetrites ja teine sentimeetrites, tuleb tulemus täiesti vale. Teisendage kõik enne arvutamist ühte süsteemi.
- Pindala ja ümbermõõdu segamine: Pidage meeles, et pindala näitab kujundi sisemist ruumi (kui palju värvi kulub pinna katmiseks), ümbermõõt aga välist piiri (kui palju aeda on vaja krundi ümber).
Korduma kippuvad küsimused (KKK)
Siin on vastused mõningatele küsimustele, mis sageli täisnurkse trapetsi teemal tekivad.
Kas ruut või ristkülik võib olla täisnurkne trapets?
Matemaatilise definitsiooni kohaselt on trapetsil *ainult* kaks paralleelset külge. Ristkülikul ja ruudul on aga kaks paari paralleelseid külgi (kõik vastasküljed on paralleelsed). Seetõttu käsitletakse koolimatemaatikas neid tavaliselt rööpkülikutena, mitte trapetsitena, kuigi mõnes definitsioonisüsteemis võidakse ristkülikut vaadelda trapetsi erijuhuna. Tavaliselt on vastus siiski “ei”, sest trapets eeldab kahte mitteparalleelset haara (või täpsemalt, definitsioon nõuab vaid ühte paari paralleelseid külgi, jättes teise paari staatuse lahtiseks, kuid klassikalises käsitluses on need erinevad).
Kuidas leida täisnurkse trapetsi diagonaale?
Diagonaalide leidmiseks tuleb taas kasutada Pythagorase teoreemi. Täisnurkse trapetsi puhul moodustavad kõrgus (sirge haar) ja alused täisnurksed kolmnurgad.
Lühem diagonaal (d1) moodustab täisnurkse kolmnurga lühema aluse ja sirge haaraga: d1² = b² + h².
Pikem diagonaal (d2) moodustab täisnurkse kolmnurga pikema aluse ja sirge haaraga: d2² = a² + h².
Miks pindala valem töötab?
Valem töötab, sest (a+b)/2 leiab trapetsi kesklõigu pikkuse. Kesklõik on joon, mis ühendab haarade keskpunkte. Kui lõikaksite trapetsi nurgad maha ja pööraksite need ümber, saaksite moodustada ristküliku, mille laius on võrdne kesklõiguga ja kõrgus on sama, mis trapetsil.
Kas täisnurksel trapetsil saab olla ümberringjoont?
Täisnurksele trapetsile saab ümberringjoone joonestada vaid väga spetsiifilisel juhul, mis sisuliselt muudab selle ristkülikuks (kui vastasnurkade summa on 180 kraadi). Kuna täisnurkse trapetsi üks nurk on täisnurk (90°) ja selle vastasnurk on teravnurk (<90°), siis nende summa ei ole 180°, seega tavalisele täisnurksele trapetsile ümberringjoont joonestada ei saa.
Geomeetria rakendused arhitektuuris ja maastikukujunduses
Täisnurkse trapetsi pindala arvutamine ei ole pelgalt kuiv koolitarkus, vaid oskus, mida läheb vaja paljudes praktilistes valdkondades. Eriti levinud on see kuju moodsas arhitektuuris ja linnaplaneerimises.
Ehituses puutuvad sellega kokku katusetöölised. Paljud moodsad katused (näiteks ühepoolse kaldega juurdeehitised või vintskapid) on ristlõikes või pealtvaates täisnurkse trapetsi kujulised. Katusekattematerjali, soojustuse ja roovide koguse arvutamiseks on hädavajalik osata leida täpset pindala. Materjali ülejääk maksab raha, kuid puudujääk tekitab viivitusi ja lisakulusid.
Maastikuarhitektuuris ja aianduses on täisnurkne trapets samuti sage külaline. Krunte poolitatakse sageli nii, et piirid jooksevad teega risti, kuid tagumine piir võib olla viltune või vastupidi. Kui soovite sellisele maalapile tellida muruseemet, väetist või tänavakive, peate arvutama pindala. Sageli jaotatakse keerukamad ebakorrapärased maapinnad mõtteliselt mitmeks lihtsamaks kujundiks – ristkülikuteks ja täisnurkseteks trapetsiteks –, et kogupindala oleks võimalik välja arvutada suure täpsusega.
Lisaks kasutatakse seda sisekujunduses. Mõelge näiteks köögimööblile, mis paigutatakse nurgaga või ebakorrapärase seinaga tuppa, või treppide alustele kappidele. Kapi külgseinad on tihti just täisnurkse trapetsi kujuga. Täpne pindala arvutus aitab optimeerida materjalikulu plaatide lõikamisel. Seega on selle lihtsa valemi valdamine kasulik tööriist igaühe “vaimses tööriistakastis”.
